Dalam dunia atau penalaran matematika, bilangan memegang peranan yang teramat penting, terutama dalam mengembangkan, menumbuhkan, menciptakan, pemahaman baru maupun suatu teorema baru. Disamping bilangan berperan dalam penalaran logic matematika beserta turunannya, bilangan juga menempati porsi yang “teramat penting” dalam mewujudkan pemahaman, penyederhanaan, penghitungan dan pergulatan hidup sehari-hari. Uang, barang, manusia dan sejenisnya selalu saja, terhitung dan terjumlah dalam bentuk bilangan-bilangan.
Sampai sekarang jika menilik suatu bilangan saya masih saja sering diragukan atas penelusuran filosofis terhadap bilangan itu sendiri. Pernah saya menuliskan di blog ini, sebuah bilangan yang pada dasarnya tak terpahami nalar namun kenyataannya benar-benar ada. Silahkan baca lebih lengkap mengenai bilangan Yang TakTerpahami namun Benar-benar ada. Disini saya ingin mengulas kembali sebuah bilangan yang banyak “dipergunakan” dalam matematika atau perhitungan, namun, secara filosofis masih meragukan dalam benak saya.
Perjalanan Dimulai
Suatu ketika seorang teman menorehkan pertanyaan dalam kolom komentar di salah satu postingan saya. Saya sebenarnya sudah sering memikirkan pertanyaan tersebut, namun, ada sejenis pemicu dari pertanyaan teman saya tersebut yang mengakibatkan saya berkeinginan untuk menelisik dan mencoba memahami lebih lanjut.
Secara singkat, saya akan menguraikan bilangan ini dengan cara seperti ini: Sebut dan ingat sembarang bilangan asli dalam benak atau pikiran anda. Jumlahkanlah angka tersebut dengan sembarang angka. Lalu kalikanlah dengan angka atau bilangan asli atau positif juga. Jumlahkanlah kembali dengan dengan sembarang angka asli dalam pikiran anda. Kemudian lakukanlah penjumlahan dan kalikanlah secara terus-menerus dengan angka atau bilangan asli sembarang. Jika sudah, ulangi lagi dengan menambahkan ke langkah awal. Apa yang akan anda dapatkan?
Apakah nantinya anda akan mendapatkan sebuah bilangan atau angka? Saya pikir secara rasional kita tidak akan pernah mendapatkan sebuah angka atau bilangan. Hal ini dikarenakan kita tidak memiliki titik henti dimana kita akan menghentikan penjumlahan maupum perkalian bilangan tersebut. Yang terjadi adalah sebuah proses penghitungan yang tiada akhir. Pengulangan perhitungan yang terus menerus.
Namun jika dicermati, dalam dunia matematika ada sebuah angka yang menyimbolkan sebuah ketakterhinggaan atau hasil dari suatu proses yang tiada akhir. Ya, angka itu merupakan “bilangan tak terhingga” yang sering dilambangkan dengan “ ~ “.
Analisis
Sekarang timbul sebuah pertanyaan yang sangat penting. Mungkinkan sebuah bilangan mempunyai sifat berupa “proses”? Mungkinkah sebuah bilangan mempunyai nilai “tak-terhingga”? Ketakberhinggaan berarti merupakan sebuah proses yang tiada akhir, apakah bisa disebut sebagai sebuah bilangan?
Secara logika, sebuah proses bukanlah sebuah titik henti. Dengan demikian proses ketakberhinggaan tidaklah patut disebut sebagai bilangan sebenarnya. Bilangan adalah sebuah penamaan atas angka yang berhenti. Semisal bilangan irasional akar 2 atau bilangan bulat lain tentu memiliki titik henti pasti, yang dalam deret ukur bilangan tentunya memiliki bilangan diatasnya maupun bilangan dibawahnya sehingga bisa dikurangkan atau ditambahkan menjadi bilangan lain. Sedangkan bilangan tak terhingga baik itu dikurangkan, dikalikan, atau dibagi dengan apapun juga akan menghasilkan bilangan tak terhingga itu sendiri. Ini tentunya tidak masuk di akal.
Sebuah proses ketakberhinggaan pada dasarnya adalah sebuah ketakterpahaman. Sebuah proses tentunya tidak bisa dibagi, dikalikan dan dijumlahkan dengan sesuatu yang bukan merupakan proses. Secara filosofis, adalah merupakan kesalahan jika menjumlahkan atau melakukan perhitungan dengan bilangan tak terhingga. Demikianlah apa yang saya pahami
Solusi
Ketakberhinggaan sebenarnya akan lebih tepat jika digunakan untuk menyimbolkan sebuah bilangan dalam bentuk yang cukup besar. Dengan demikian takberhingga bukan berarti tak memiliki akhir, tetapi lebih merupakan penyederhanaan akan sesuatu yang sangat besar. Semisal kita ingin membagi 1 dengan 1.000.000.000.000.000.000. Nah 1.000.000.000.000.000.000 dapat disimbolkan sebagai “~”. Dengan demikian “~” bukan merupakan sebuah proses tetapi hanya sebuah simbol akan sesuatu yang teramat banyak atau besar dalam perbandingan dengan bilangan yang lain.
Walaupun demikian matematika memang sebuah penalaran atau pemahaman yang teramat pelik dan unik. Kadang kala matematika mendatangkan sebuah ketakjuban dan keindahan dengan untaian angka-angkanya. Akankah ketakberhiggaan itu bisa dipahami? Saya pikir tidak. Sebagaimana memahami angka 1 yang muncul dari 0, atau, memahami angka 1 yang ditambah 1 dan terus menerus ditambahkan. Hal ini seperti memahami keberadaan yang muncul dari ketiadaaan, atau memahami keberadaan yang berasal dari keberadaan yang terus menerus. Antinomi Kant sekali lagi akan menghasilkan jalan buntu.
Salam Takjub atas Angka-angka
Haqiqie Suluh
Suluh Numpang Nulis 
MAs Suluh, dalam waktu nyaris bersamaan, sepertinya, saya pun menulis tentang ketakhinggaan.
ahaha.. ini komentar ketiga saya di blog anda,
Kacau nih, blog sendiri malah dibiarkan kosong melompong, tak terurus. Entah mengapa ketika aku ingin menulis gak tau apa yang ingin ditulis, pikiran sepertinya mandek, tapi pas blogwalking dan nemu yang menarik tiba2 keluar semua ide..
Buung suluh, suatu ketika mungkin saya akan memunculkan tulisan yang mirip dengan tulisan anda, mungkin sama, tapi dilihat dari sudut pandang berbeda, dan ketika itu nanti terjadi, mohon di maafkan. ^_^;
Kembali ke bilangan, tau ngga, kalo angka “0” nol itu ditemukan oleh seorang ilmuwan muslim. Saya lupa namanya, katanya angka itu disarikan dari sifat2 ALLAH. Sifat yang mana? sejauh yang saya baca dari buku itu ngga dijelasin secara spesifik sifat yang mana.
Lama saya berpikir,
Suatu hari saat menjelajahi lembaran2 qur’an saya menemukan kata kata ini: “..Pengetahuan ALLAH meliputi segala sesuatu..” kalo ngga salah penggalan ayat itu berbunyi seperti diatas. Meliputi segala sesuatu bahkan sampai ke tingkat atom atau yg lebih kecil lagi dari itu, disana berlaku sunnah (hukum) ALLAH. atau sangat besar hingga ukuran planet dan galaksi dan disana tetap berlaku sunnatullah.
Kecil itu bisa dinyatakan, tapi kalo besar ujungnya nyampe pada bilangan tak hingga (bilangan tak hingga sendiri adalah suatu konsep, bilangannya sendiri ngga tau batasnya dimana). Tapi kalo kecil.. adakah bilangan yg lebih kecil dari nol? mungkin anda akan menjawab bilangan negatif, tapi negatif itu suatu konsep untuk memudahkan kegiatan berhitung (menurut saya). Kalo misalnya saya minta 5 apel saya yakin anda bisa langsung membawanya, tapi kalo saya minta “bawakan saya -5 apel” bagaimana anda merealisasikan perintah ini?
Jadi bilangan yang paling kecil dan nyata itu adalah nol. Nyata maksud saya ialah bisa di lihat secara riil. misal saya minta bawakan nol apel anda pasti bisa kan?
mungkin ada beberapa orang yang mengartikan nol sebagai konsep.. ah tapi itu cerita lain :D
note:
Bedakan penggunaan bilangan negatif pada hal semisal vektor, pada vektor, negatif digunakan untuk menunjukkan arah bukan kuantitas. Atau pada simbol yg digunakan untuk menyatakan muatan elektron. negatif yang saya sebutkan diatas adalah negatif untuk kuantitas.
posting ini tak copy ke blog ku ah tapi ntar.. kalo malesnya ngga lagi kumat.. ^_^;;
Kayaknya yang menulis komentar di atas ini orang fisika deh…
@reezkasphere: nol itu pada dasarnya hanya simbol ketiadaan yang sesungguhnya ketiadaan itu sendiri masih dipertanyakan secara filsafati.
finite infine, countable uncountable, limit, definisi, rasioanl irasional, and so on and so on
WOW… the beauty of math :-)
math kalo bisa ngomong, mungkin dia akan mendeskripsikan diri sebagai WOW…!!!
We Offer Wonder :-)
salam kenal
Tolongin aQ dunk…
Pa sih perbedaan antara tak terhingga dengan tak terdefinisi???
Tlg dblz y, Q da tgs kuliah ne, mgu ne kumpul!!!!!!!!!!!!!!!!
Jelas dong, kalau tak terdefinisi itu bilangan yang tidak dapat disebutkan. Contohnya 0/0 karena bilangan 0 dikalikan bilangan apapun hasilnya tetap 0. Kedua, akar kuadrat genap dari bilangaan negatif, karena bilangan negatif dipangkatkan bilangan genap hasilnya positif. Misalnya, -2 x -2 = 4 atau -1 x -1 x -1 x -1 = 1. Positif kan… Kalau dipangkatkan bilangan ganjil, baru negatif. Contoh, -3 x -3 x -3 = -27. Ketiga, Akar pangkat 0 karena bilangan apapun (kecuali 0) jika dipangkatkan 0, hasilnya pasti 1.
Nah, kalo tak terhingga itu bilangan tanpa batas, tak berhingga jumlah angkanya. Contoh, 1/0 itu bilangan unlimited. 1/0 itu sama dengan 0 x ? = 1 atau 1 : ? = 0. 0 mau ditambah 0 berapa banyak pun hasilnya pasti tetap 0, tidak mungkin 1. Maka disebut tak terhingga karena 0 ditambah 0 tak terhingga kali hasilnya 1. Kedua, panjang dua garis sejajar hingga saling berpotongan. Garis-garis sejajar jika dipanjangkan berapa saja pasti tetap sejajar, tidak akan saling berpotongan.
Berguna Banggets(lebih dr banget) Keren banget
bilangan infinitif adalah Tuhan.
“Sekiranya seluruh manusia mengabdi kepada-Ku, maka itu tak akan menambah kekuasaan-Ku barang sedikitpun. Sebaliknya, apabila seluruh manusia mengingkari-Ku, maka hal itu tak akan mengurangi kekuasaan-Ku barang sedikitpun”
hanya Dialah yang tak berhingga, tak berakhir, tetapi tunggal..
1/0 juga kan merupakan bilangan tak terhingga pastinya, karena 1/0 adalah di mana 0 harus ditambah berapa kali supaya 1 atau 0 x ? = 1. Semakin kecil bilangan pembagi, maka semakin besar hasilnya. Misal 0/0,000001 = 1000000 & 0/0,000000001 = 1000000000.
Yang lebih besar pasti 1/0,000000001 dong. 2/0 sama dengan 1/0. Karena 2/0 : 2/2 = 1/0. Sangat jelas, bukan? Jadi tak terhingga itu bilangan tanpa batas jumlahnya, bukan pembulatan bilangan yang sangat banyak. 1/0 itu lebih besar daripada 1000 pangkat semilyar dan seterusnya. Oh, ya. Kalau di kalkulator jika bilangannya tidak muat maka simbolnya e, tapi cobalah ketik 1/0, pasti akan muncul tanda E yang artinya tak terhingga. Tetapi, jika 0/0 itu bukan tak terhingga, tetapi tak tentu, karena 0/0 itu bisa bilangan 0; 1/2; -2; 1000000; -1/5; dan seterusnya. Itu mengapa kita tidak boleh menggunakan bilangan x/0.
Woy…
Tak terhingga itu bilangan terbesar dan tiada yang lebih besar darinya. Tiada satupun yang tak terhingga di dunia ini kecuali Allah SWT yang maha tak terhingga. Tak terhingga dapat disimbolkan sebagai “~”. Tak terhingga itu tidak dapat dinyatakan ganjil, genap, prima, maupun komposit. Tetapi, tak terhingga itu dapat dinyatakan sebagai tak terhingga positif, negatif, imajiner, dan lain-lain tergantung dalam konteks.
Setiap bilangan yang dibagikan dengan 0 pasti hasilnya tak terhingga karena jika suatu pembagi semakin mendekati 0, maka hasilnya akan semakin besar, apalagi jika 0. Jika suatu pembilang adalah negatif, maka akan menghasilkan negative invinity, begitu pun yang lainnya tergantung pada pembilangnya.
Begitu pun sebaliknya, apapun bilangannya baik itu 0, +, -, dan i jika dibagi tak terhingga positif, negatif, dll, hasilnya pasti 0.
Setiap bilangan diatas 1, jika dipangkatkan tak terhingga positif, hasilnya pasti tak terhingga. Tetapi, jika di bawah satu, hasilnya 0. Kalau tak terhingga negatif akan kebalikannya.
Ketika ada suatu operasi dengan tak terhingga baik itu penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan pengakaran, hasilnya tidak akan berubah, tetapi dapat berubah tanda. Angka-angka tersebut tidak boleh dioperasikan dengan 0 dan tak terhingga itu sendiri karena akan berubah nilai.
Begitulah singkat cerita tentang tak terhingga. Jika ada kesalahan dan kekurangan, maklumi karena saya adalah manusia. Manusia pasti perna salah. Terima kasih…
Suwun, pencarianku ktmu…
Adanya berapapun meski 1 zarah di kali tak terhingga = tak terhingga
Sebaliknya berapapun bnyaknya dibagi dg tak terhingga = 0
Subhanallah… Bukti ilmiah bhwa kita wajib untuk mndptkn unsur tak terhingga. (Q.S. Almaidah:35)
berapa hasil -1 dikali dengan bilangan tak hingga? tolong jelaskan alasannya…please……….
“No”l dengan “kosong” bedanya apa ya atau memang tidak da bedanya?
“Nol” dengan “kosong” bedanya apa ya atau memang tidak da bedanya?
Menurutku 0 (nol) yang sendirian atau tidak diikuti angka lain adalah merupakan SIMBOL, bukan angka namun huruf yakni O (seperti dalam Oh My God).
Pak saya seorang mahasiswi matematika di salah satu universitas yg ada di bandung. Saya ingin bertanya, kalau tak hingga dikurangi tak hingga itu berapa ya? Saat saya mengerjakan soal kalkulus dari bku purcel tentang integral tak wajar, saya mengecek jawaban saya di kunci jawabannya yg lengkap dengan caranya. Stelah selesai mengintegralkan,kemudian d kunci jawaban dalam pengsubstitusian batas2, tak hingga dikurangi itu sama dengan nol. Nah di sini saya jadi bingung pak. Bukannya kita ga tau kan tak hingga itu berapa.
Makasih
permisi,,,,, baru ngeh ada bilangan tak terhingga,,, hehehehe
tak terhingga sama tak terdefinisi sama gak sih,,,?
trus misal ada operasi penjumlahan bilangan tak terhingga dengan bilangan asli atau bilangan bulat hasilnya apa yha,,,,? mohon info tks
pemahaman bilangan tak terhingga hanya dapat dipahami simbolnya tapi tidak dapat di akhiri besarannya, awal angka tak terhingga dari nilai angka 1 angka satu dijumlahkan atau dikurangi terus menerus jadilahn takmnterhingga. iitulah menurut pemahamann saya